Пуцко — воспитанник «Спартака», так и не закрепившийся в родной команде. Начиная с 2017-го года защитник выступал за «Уфу», «СКА-Хабаровск» и «Ахмат». А в этом сезоне он может начать всё с чистого листа.
Пуцко отдал «Ахмату» два года. Он пришёл в клуб в 2020-м, а ушёл этим летом. Прошлый сезон защитнику совсем не удался: он сыграл всего шесть матчей в РПЛ, а в стартовом составе вышел всего трижды.
В середине июля Пуцко подписал двухлетний контракт с «Балтикой». На первый взгляд, защитник сделал шаг назад, перебравшись из РПЛ в Первую лигу. Но о своём решении Александр вряд ли жалеет.
Сейчас 29-летний Пуцко снова играет. В августе он провёл четыре матча в Первой лиге, причём во всех вышел в стартовом составе.